る「ペグ・ソリティア」は右図の
ような盤にある玉を移動させ
て遊ぶゲームです。
【ルール】
図①のように、ある直線上に
2個の玉が並んでいて、その
隣があいているとき、アの
玉はイを飛び越して、あいた
穴に移動します（図2）。飛び
越された玉イは盤上から取
り除かれます。玉は斜めに
飛び越すことはできません。
西三数学サークル通信96-2号
ペグ・ソリティア・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・伊禮(福井大学)
| 最高の1人遊びと推奨されてい る「ペグ・ソリティア」は右図の ような盤にある玉を移動させ て遊ぶゲームです。 |
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| ソリティアの遊び方 【ルール】 図①のように、ある直線上に 2個の玉が並んでいて、その 隣があいているとき、アの 玉はイを飛び越して、あいた 穴に移動します（図2）。飛び 越された玉イは盤上から取 り除かれます。玉は斜めに 飛び越すことはできません。 |
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【ゲームの進め方】
最初にどこか1箇所の玉を取り除いて空所をつくり、ルールに従って玉を
取り除いていく。玉が一切動かせなくなったら終了です。
盤上に残された玉をできるだけ少なくすることが目標で、最後に1個だけ
になればベストです。
正方形盤に挑戦
| ４×４の正方形の盤で遊んでみましょう。 右図の１～16の一箇所を空欄にして遊んでみましょう。 最後に1個だけ玉を残すことが出来たところはどこでしょ うか。 |
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ペグ・ソリティアの数理
| ４×４のソリティアの盤を右図のように色分けします。 Y＝黄色 B＝青色 R＝赤色 盤上に玉を全部置けば、黄色(Ｙ)＝6箇所、青色(B) ＝5箇所、赤色(R)＝5箇所となります。これを（Y６，B５， R５）と書きます。 最初にどこを空所にするかによって、玉を1個に出来 る場合が決まります。 ① 図1のように隅を1箇所空けると、これ以上動きが取 れません。 従って、隅を空けた場合は玉を1個に出来ません。 ② 図２のように、黄色（Y）の場所を空けた場合を考 えます。 この場合は（Y5，B5，R5）となります。 |
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下図のように、玉を動かしていきます。すると、玉のある場所は
（Y5，B5，R5）⇒（Y6，B4，R4）⇒（Y5，B3，R5）⇒（Y6，B2，R4）
玉の個数は黄色、青色、赤色共に、奇数個⇒偶数個⇒奇数個⇒
偶数個⇒･･･となっていることが分かります。
従って、最後に（Y1，B0，R0）、（Y0，B1，R0）、（Y0，B0，R1）とな
ることはなく、玉を1個にすることは出来ないことがわかります。
| ①、②よりY＝黄色を１箇所空けると、 玉を1個にすることは出来ないことがわ かります。また、左右対称の色分けも 可能ですから、右図の×を空所にして ゲームを始めると玉を1個にすることは 出来ないことがわかります。 |
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③ 赤色（R）の玉を１つ取ってゲームを始める場合を考える。
スタートは（Y6，B5，R4）となり、（Y6，B5，R4）⇒（Y5，B4，R5）
⇒（Y6，B3，R4）･･･のように、どの局面においても、3つの数字
は（Y奇数，B偶数，R奇数）または（Y偶数，B奇数，R偶数）とな
りますから、（Y0，B1，R0）となる可能性があることが分かります。
④ 青色（B）の玉を１つ取ってゲームを始める場合を考える。
③の赤色の場合と同様で、（Y0，B0，R1）となる可能性があるこ
とが分かります。