西三数学サークル通信３7号

正ｎ角形の一筆書き・・・・・・・・梶田（岡崎東高校）　

昨年の12月に名古屋で行われた数教協 東海地区大会において山口先生が正多角形 の一筆書きの方法を紹介された。 　例　正七角形 　正七角形の頂点を０，１，２，３，４， ５，６とする。 　対角線の数＝７C２＝21本である。 書き方　　対角線の長さは(７−１)/2＝３ 　種類あるから、
	一筆書きを利用した壁掛け

一般に、正ｎ角形（ｎは奇数とする） の一筆書きは正ｎ角形の頂点を０， １，２，３・・・n-1とする。 　２点を結ぶ線分はｎC２＝n(n-1)/2 本あり、対角線の同じ長さの線分は (n-1)/2 種類ある。

下のように線を引いていく。

トレミーの定理を復習すると三角関数
の加法定理が見えてくる・・・中村（刈谷高校）

トレミーの定理 　四角形ABCDが円に内接するならば 　AB・CD+BC・DA=AC・BD

トレミーの定理の証明

１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　

　３　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４

ここから第２の山場

ここで、あらためて円Oに内接する □ABCDを考える。（右図） 　　AO=0.5 AC(直径)＝１ とすると、∠ACD=∠ABC=90°だから 　　　DC=sinα 　　　AD=cosα 　　　BC=sinβ 　　　AB=cosβ 　　　DB=sin(α＋β) (∵△ABDで正弦定理をつかう) そこで、トレミーの定理により（←いよいよ使います！） 　AC・DB=AB・DC＋AD・BC すなわち 　　１×sin(α＋β)= cosβ×sinα＋cosα×sinβ ∴ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

※　トレミーの定理は逆（□ABCDにおいて　AB・CD+AD・BC=AC・BD　ならば、
　　この□ABCDは円に内接する）も成り立つ。

※　トレミーは天文学者プトレマイオスの英語読みです。つまり、同一人物。